Derivación de funciones trigonométricas

Función	Derivada
$sin(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$- sin(x)$
$tan(x)$	$sec 2 (x)$
$cot(x)$	$- csc 2 (x)$
$sec(x)$	$sec(x)tan(x)$
$csc(x)$	$- csc(x)cot(x)$
$arcsin(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arccos(x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arctan(x)$	$\frac{1}{x^2+1}$

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

Por tanto si f(x) = sin(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica

sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

, se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}$

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Reordenando los términos y el límite se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

$f'(x)=\cos(x) \,$

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

, se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}$

Operando se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}$

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

$f'(x)=-\sin(x) \,$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, $f(x)\,$ , se puede escribir como

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

y $h(x) \ne 0\,$ , entonces la regla dice que la derivada de $g(x)/h(x)\,$ es igual a:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

A partir de la identidad trigonométrica

$\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}$

haciendo:

$g(x)=\sin(x) \,$

$g'(x)=\cos(x) \,$

$h(x)=\cos(x) \,$

$h'(x)=-\sin(x) \,$

sustituyendo resulta

$f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}$

operando

$f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

y aplicando las identidades trigonométricas

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,$

$\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}\,$

resulta

$f'(x)=\sec^2(x) \,$

CALCULO

domingo, 23 de octubre de 2011

Derivadas de funciones trigonometricas directas

Derivación de funciones trigonométricas

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

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