Derivadas de funciones trigonometricas directas

Derivación de funciones trigonométricas

Función	Derivada
$sin(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$- sin(x)$
$tan(x)$	$sec 2 (x)$
$cot(x)$	$- csc 2 (x)$
$sec(x)$	$sec(x)tan(x)$
$csc(x)$	$- csc(x)cot(x)$
$arcsin(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arccos(x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arctan(x)$	$\frac{1}{x^2+1}$

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

Por tanto si f(x) = sin(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica

sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

, se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}$

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Reordenando los términos y el límite se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

$f'(x)=\cos(x) \,$

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

, se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}$

Operando se obtiene

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}$

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

$f'(x)=-\sin(x) \,$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, $f(x)\,$ , se puede escribir como

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

y $h(x) \ne 0\,$ , entonces la regla dice que la derivada de $g(x)/h(x)\,$ es igual a:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

A partir de la identidad trigonométrica

$\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}$

haciendo:

$g(x)=\sin(x) \,$

$g'(x)=\cos(x) \,$

$h(x)=\cos(x) \,$

$h'(x)=-\sin(x) \,$

sustituyendo resulta

$f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}$

operando

$f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

y aplicando las identidades trigonométricas

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,$

$\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}\,$

resulta

$f'(x)=\sec^2(x) \,$

Derivacion

Derivadas
la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Derivacion por formulas

Formulas de Derivación

I dc = 0
dx La derivada de una constante es cero
II dx = 1
dx La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.

III d ( u + v – w ) = du + dv - dw
dx dx dx dx La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

IV d ( cv ) =c. dv
dx dx La derivada del producto de una constante por una funcion es igual al producto de la constante por la derivada de la funcion

V d (uv) = u dv + v du
dx dx dx La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcion por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera.

VI d (vn) = nvn-1 dv
dx dx La derivada de la potencia de una funcion de exponente constante es igual al producto del exponente por la funcion elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funcion.

VIa d (xn ) = nxn - 1
dx Cuando v = x se convierte en la expresion anterior

VII d ( u ) = v.du - u.dv
dx v dx dx .
v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador

VIIa d ( u ) = du
dx c dx .
c La derivada del cociente de una funcion dividida por una constante es igual a la derivada de la funcion dividida por la constante

Por el momento hemos visto algunos ejemplos de lo que es la derivación por formulas:

Utilizando la función:

3 2
d 4x - x + 5x – 1
dx

Se pueden aplicar varias formulas para su resolucion:

3 2 3 2
d 4x - x + 5x – 1 = d 4x - d x + d 5x – d 1 =
dx dx dx dx dx

3 1
= 4 d x - 2x d x + 5 d x
dx dx dx

3-1
= 4 ( 3x d x ) – 2x + 5
dx
2
Quedando como resultado: 12x - 2x + 5

Regla de 4 pasos para Derivadas

Regla de 4 pasos para DERIVAR

FUNCION: f(X)=3x²-4x+2 Δ

y=3x²-4x+2

1.-SE INCREMENETA LA FUNCIÒN:

y+ Δy = 3(x+ Δx²)-4(x+Δx)+2
y+ Δy=3(x²+2xΔx+ Δx²)-4x-4Δx+2
y+ Δy=3x²+6xΔx+3Δx²-4x-4Δx+2 <------------- FUNCION INCREMENTADA

2.- SE LE RESTA ALA FUNCION INCREMENTADA LA FUNCION ORIGINAL

y+ Δy=3x²+6xΔx+3Δx²-4x-4Δx+2
-y= -3x²+4x-2
----------------------------------------…
y= 6xΔx+3Δx²-4Δx <--------INCREMENTO DE LA FUNCION

3.-SE DIVIDE POR EL INCREMENTO DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE:

Δy/Δx= 6xΔx+3Δx²-4Δx / Δx = 6x+3Δx-4 <----- COCIENTE DE INCREMENTO

4.- SE TOMA EL LIMITE PARA CUANDO Δx -->(vale) 0:
lim 6x+3Δx-4

Δx-->0 = 6x+3(0)-4
= 6x-4 por lo tanto d/dx f(x) = 6x-4 -----> RESULTADO

PARA COMPROBAR TU RESULTADO SOLO TIENES Q SACAR LA DERIVADA NORMAL DE TU ECUACION ORIGINAL

EJEMPLO: f(x)= 3x²-4x+2
6x²-4

Limites infinitos 2 parcial

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Observemos la función f(x)=1/x² para valores de x positivos muy grandes.

x	f(x)
100	1,0x10^-4
1.000	1,0x10^-6
10.000	1,0x10^-8
100.000	1,0x10^-10
1.000.000	1,0x10^-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

Límite infinito

Caso 1:

lim_x->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

2 parcial...CALCULO

Límites de funciones trigonométricas

Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.
Vamos a probar que:

a.	$\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{sen\;\alpha}=0\;\;\mbox{y}\;\;\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{cos\;\alpha}=1}$ donde $\alpha$ es un ángulo que se mide en radianes.

Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad siguiente: $\displaystyle {\theta=\frac{s}{r}}$ , donde el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

es la medida del arco
es el radio del círculo
Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida en radianes es $\alpha$

En este caso como se tiene que $\alpha=\displaystyle {\frac{s}{1}}$ por lo que $\alpha = s$
El triángulo es rectángulo y sus catetos $PQ\;\;\mbox{y}\;\;QA$ miden respectivamente $sen\;\alpha \;\;\mbox{y}\;\;1-cos\;\alpha$ (Note que $OQ=cos\;\alpha$ ).
Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:

Como la longitud de es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que $\alpha$ , se tiene que:
$(sen\;\alpha)^{2}+(1-cos\;\alpha)^{2}<\alpha ^{2}$
Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:
$sen^{2}\;\alpha< (AP)^{2}\;\;\mbox{y}\;\;(1-cos\;\alpha)^{2}<(PA) ^{2}$
y como $(AP)^{2}< \alpha ^{2}$ entonces:
$sen^{2}\;\alpha< \alpha^{2}\;\;\mbox{y}\;\;(1-cos\;\alpha)^{2}<\alpha^{2}$
de donde $\vert sen\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert\;\;\mbox{y}\;\;\vert 1-cos\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert$
Si $\varepsilon$ es un número positivo, podemos tomar $\delta =\varepsilon$ de tal forma que $\vert sen\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert<\varepsilon\;\;\mbox{y}\;\;\vert 1-cos\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha\vert<\delta$ .
De otra manera: $\vert sen\;\alpha - 0\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha -0\vert<\delta$ por lo que $\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{sen\;\alpha}=0}$ , y similarmente, $\vert cos\;\alpha -1\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha -0\vert<\delta$ por lo que $\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{cos\;\alpha}=1}$
De esta forma hemos probado los dos límites.

domingo, 23 de octubre de 2011

Derivación de funciones trigonométricas

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

Límite infinito

Límite infinito