domingo, 23 de octubre de 2011

2 parcial...CALCULO




Límites de funciones trigonométricas


Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.
Vamos a probar que:



a.  $\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{sen\;\alpha}=0\;\;\mbox{y}\;\;\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{cos\;\alpha}=1}$ donde $\alpha$ es un ángulo que se mide en radianes.
 
Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad siguiente: $\displaystyle {\theta=\frac{s}{r}}$, donde $s$ el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia de radio $r$, cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:
 
$s$ es la medida del arco $AB$
$r$ es el radio del círculo
Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo $AOP$ cuya medida en radianes es $\alpha$

En este caso como $r=1$ se tiene que $\alpha=\displaystyle {\frac{s}{1}}$ por lo que $\alpha = s$
El triángulo $PQA$ es rectángulo y sus catetos $PQ\;\;\mbox{y}\;\;QA$ miden respectivamente $sen\;\alpha \;\;\mbox{y}\;\;1-cos\;\alpha$ (Note que $OQ=cos\;\alpha$).
Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:

Como la longitud de $PA$ es menor que la longitud del arco $AP$, es decir, es menor que $\alpha$, se tiene que:
$(sen\;\alpha)^{2}+(1-cos\;\alpha)^{2}<\alpha ^{2}$
Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:
$sen^{2}\;\alpha< (AP)^{2}\;\;\mbox{y}\;\;(1-cos\;\alpha)^{2}<(PA) ^{2}$
y como $(AP)^{2}< \alpha ^{2}$ entonces:
$sen^{2}\;\alpha< \alpha^{2}\;\;\mbox{y}\;\;(1-cos\;\alpha)^{2}<\alpha^{2}$
de donde $\vert sen\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert\;\;\mbox{y}\;\;\vert 1-cos\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert$
Si $\varepsilon$ es un número positivo, podemos tomar $\delta =\varepsilon$ de tal forma que $\vert sen\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert<\varepsilon\;\;\mbox{y}\;\;\vert 1-cos\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha\vert<\delta$.
De otra manera: $\vert sen\;\alpha - 0\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha -0\vert<\delta$ por lo que $\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{sen\;\alpha}=0}$, y similarmente, $\vert cos\;\alpha -1\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha -0\vert<\delta$ por lo que $\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{cos\;\alpha}=1}$
De esta forma hemos probado los dos límites.


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